Birsa, classe 1986, è originario di San Pietro-Vertoiba, in Slovenia. Ha mosso i primi passi della carriera nel Primorje e nel Gorica, per poi approdare nel 2006 nel campionato francese. Dopo avere indossato le maglie di Sochaux (sino al 2009) e Auxerre, nel 2011 è stato acquistato dal Genoa, dove ha totalizzato 12 presenze con un gol. Quindi, il passaggio al Torino (18 partite, 2 gol) e al Milan (21/2). Nel 2014 è arrivato al Chievo: con la maglia gialloblù ha totalizzato 163 presenze con 18 gol e 26 assist.
Con la Nazionale slovena ha giocato 90 partite e 7 gol, partecipando ai Mondiali 2010. Oggi il primo allenamento: sarà tra i convocati per la partita di lunedì 14 contro l'Atalanta valida per la Coppa Italia.